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Pourquoi la moyenne empirique ? D’où vient la courbe en cloche ?

jeudi 3 décembre 2015


Voir en ligne : Source : experiences.math.cnrs.fr

Supposons que l’on observe n réalisations d’un certain phénomène, par exemple :

- sur n oeufs, on observe pour chaque oeuf i, la variable X_i qui vaut 0 si l’oeuf i n’éclot jamais et 1 si il éclot un jour. Ce sont des variables de Bernoulli de paramètre p inconnu. On aimerait savoir quel est le taux de succès p.

- sur n oeufs qui éclosent un jour cette fois-ci, on observe pour chaque oeuf i, X_i qui est maintenant le temps jusqu’à éclosion. On peut modéliser cela par des variables exponentielles de paramètre 1/m inconnu. On aimerait savoir quelle est la durée moyenne d’attente avant éclosion m.

Dans les deux cas, la moyenne empirique des X_i est un bon estimateur du paramètre inconnu. Pour voir cela, on peut utiliser l’expérience numérique suivante (premier cadre)

- la moyenne empirique est sans biais : quelque soit la valeur de n, les différentes trajectoires se répartissent autour de la valeur recherchée.

- quand n augmente, la moyenne empirque tend vers la quantité que l’on cherche : c’est la loi des grands nombres

De plus bien renormalisée par racine de n, (deuxième cadre) on voit que l’histogramme des réalisations autour du paramètre se répartit comme une courbe en cloche, la célèbre densité de la loi normale (aussi appelée Gaussienne) : c’est le théorème central limite.

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