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Intervalles de confiance

jeudi 3 décembre 2015


Voir en ligne : Source : experiences.math.cnrs.fr

On observe n oeufs de pingouins et pour chaque oeuf i on observe la variable X_i qui vaut 1 si l’oeuf i éclot et 0 sinon. Le paramètre p que l’on veut estimer est le taux de succès, c’est-à-dire la probabilité que l’oeuf éclose.

Un bon estimateur de p est la moyenne empirique des X_i, que l’on peut aussi voir comme le pourcentage (ou la fréquence empirique) d’éclosion. On le note "p chapeau".

Par la loi des grands nombres, on sait que pour n assez grand, on est ainsi proche de p.

Par le théorème central limite, on sait aussi que

$\sqrt{n} ("pchapeau"-p)$

est asymptotiquement de loi normale de moyenne p et de variance p(1-p).

On peut donc montrer que pour n grand, p est en fait dans l’intervalle

[ "p chapeau" - z_1-\alpha/2 \sqrt"pchapeau"(1-"pchapeau)/n , "p chapeau" + z_1-\alpha/2 \sqrt"pchapeau"(1-"pchapeau)/n]

avec probabilité $(1-\alpha)$. Das la formule ci-dessus z_1-\alpha/2 est le quantile d’ordre 1-\alpha/2 de la gaussienne.

C’est ce qui est représenté ci-dessous, avec "p chapeau" en abscisse et p en ordonnée. Vous pouvez changer \alpha ( ou z_1-\alpha/2) ou n et bouger le curseur en "pchapeau" pour voir comment l’intervalle se déforme.

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